[{"data":1,"prerenderedAt":160},["ShallowReactive",2],{"content-/trig-addition-formula-folding-proof":3,"all-pages-for-dir":139,"related-/trig-addition-formula-folding-proof":140,"og-image-/trig-addition-formula-folding-proof":159},{"id":4,"title":5,"body":6,"category":124,"concepts":124,"description":125,"extension":126,"meta":127,"navigation":128,"ogImage":124,"path":129,"project_name":124,"published":130,"publishedAt":131,"seo":132,"source":124,"stem":133,"tags":134,"todo":124,"unpublished":130,"updatedAt":124,"__hash__":138},"pages/2026-09/2026-09-11/trig-addition-formula-folding-proof.md","加法定理を1枚の紙で導く。斜辺1の直角三角形を折ると sin(α+β) と cos(α+β) が同時に読める",{"type":7,"value":8,"toc":111},"minimark",[9,13,22,26,29,39,42,54,57,60,65,68,72,75,79,82,85,88,91,94,102,105,108],[10,11,5],"h1",{"id":12},"加法定理を1枚の紙で導く斜辺1の直角三角形を折ると-sinαβ-と-cosαβ-が同時に読める",[14,15,16,17,21],"p",{},"手元に、四角形に切った紙を折り目で三角形に分け、辺の長さを書き込んだ写真がある。\n斜辺1の直角三角形をもう1つの角で2回切り分けると、横幅が sin(α+β)、高さが cos(α+β) になり、",[18,19,20],"strong",{},"加法定理","（角の和の三角関数を、それぞれの角の三角関数で表す公式）が2本同時に読める。\nこの記事では写真の図を描き直し、図の作り方と読み方を順に書く。",[23,24,25],"h2",{"id":25},"先に結論",[14,27,28],{},"図1の図形から、次の2本が出る。",[30,31,32,36],"ul",{},[33,34,35],"li",{},"sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β",[33,37,38],{},"cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β",[14,40,41],{},"横幅を2通りに測ると1本目、高さを2通りに測ると2本目になる。\n図の中の①から④は、切り分けてできた4つの辺の長さである。",[43,44,45,50],"figure",{},[46,47],"img",{"src":48,"alt":49},"/images/trig-addition-formula-folding-proof/figure-01.svg","斜辺1で頂角αの直角三角形の2辺 cos α と sin α を、それぞれ角βで直角三角形に分けた図。横幅が①＋②で sin(α+β)、右の辺③から左の辺④を引いた高さが cos(α+β) になる",[51,52,53],"figcaption",{},"図1: 横幅は①＋②で sin(α+β)、右の辺③から左の辺④を引いた高さが cos(α+β)",[14,55,56],{},"図は α = 40°、β = 30° で描いたが、以下の話はαとβが鋭角で、α+β が 90° より小さければそのまま成り立つ。",[23,58,59],{"id":59},"図の作り方",[61,62,64],"h3",{"id":63},"斜辺1頂角αの直角三角形を置く","斜辺1、頂角αの直角三角形を置く",[14,66,67],{},"まず、斜辺の長さが1で、一方の鋭角がαの直角三角形を用意する。\n斜辺が1なので、αに接する辺は cos α、αの向かいの辺は sin α になる。\n図1では角αの頂点を右上に置き、斜辺1を左下へ、辺 cos α を真下より少し左へ伸ばしている。\nこの三角形が図1の白い部分で、直角の頂点は底辺の上にある。",[61,69,71],{"id":70},"辺-cos-α-を斜辺にして角βの直角三角形を切り出す","辺 cos α を斜辺にして、角βの直角三角形を切り出す",[14,73,74],{},"次に、右上の頂点で、辺 cos α と鉛直線のあいだに角βをとる。\n辺 cos α を斜辺とし、鉛直線と底辺を2辺とする直角三角形ができる。\n斜辺が cos α で頂角がβだから、鉛直の辺は cos α cos β（③）、底辺は cos α sin β（②）になる。\n図1の右下の薄いグレーの三角形がこれである。",[61,76,78],{"id":77},"辺-sin-α-を斜辺にしてもう1つ角βの直角三角形を切り出す","辺 sin α を斜辺にして、もう1つ角βの直角三角形を切り出す",[14,80,81],{},"残る辺 sin α にも同じことをする。\n辺 sin α は辺 cos α と直角に交わる。\n辺 cos α が鉛直線からβだけ傾いているので、それと直角に交わる辺 sin α は水平線からβだけ傾く（鉛直線と水平線も直角なので、傾く角は等しい）。\n図1の底辺の途中に書いた角βがそれである。\n辺 sin α を斜辺、底辺と左の鉛直線を2辺とする直角三角形ができる。\n斜辺が sin α で底辺との角がβだから、底辺は sin α cos β（①）、左の鉛直の辺は sin α sin β（④）になる。\n図1では左下の薄いグレーの三角形にあたる。",[14,83,84],{},"ここまでで、図1の全体は、底辺が①＋②、右の辺が③、左の辺が④の四角形になった。\n上の辺は元の斜辺1である。",[23,86,87],{"id":87},"図の読み方",[14,89,90],{},"右上の頂点に注目する。\n斜辺1と辺 cos α のあいだがα、辺 cos α と鉛直線のあいだがβなので、斜辺1と鉛直線のあいだは α+β である。\n長さ1の線分が鉛直線から α+β だけ傾いているのだから、その水平方向の幅は sin(α+β)、鉛直方向の高さは cos(α+β) になる。\n図1でマゼンタの矢印で示した2本がこれだ。",[14,92,93],{},"同じ幅と高さを、切り分けた辺で測り直す。",[30,95,96,99],{},[33,97,98],{},"水平方向の幅は、左端の頂点から右の辺までの距離で、底辺の①＋②に等しい。よって sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β。",[33,100,101],{},"鉛直方向の高さは、右上の頂点から左端の頂点の高さまでの距離である。右の辺の全長③から、左端の頂点が底辺より高い分④を引けばよい。よって cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β。",[14,103,104],{},"同じ長さを2通りに測って等号で結んだだけで、計算らしい計算はしていない。\nsin の公式が足し算で cos の公式が引き算になる理由も、図に出ている。\n幅は2つの底辺を並べて足すが、高さは右の辺から左の辺のぶんだけ引く。",[23,106,107],{"id":107},"この図が使える範囲",[14,109,110],{},"図1は、αとβが鋭角で α+β が 90° より小さい場合の図である。\nα+β が 90° を超えると cos(α+β) が負になり、左端の頂点は底辺より下に来るので、この図のままでは読めない。\n一般の角に広げるときは、単位円上の2点の距離から cos(α−β) を出す証明のほうが素直で、鋭角の場合を図で納得したあとに教科書で確かめればよい。",{"title":112,"searchDepth":113,"depth":113,"links":114},"",2,[115,116,122,123],{"id":25,"depth":113,"text":25},{"id":59,"depth":113,"text":59,"children":117},[118,120,121],{"id":63,"depth":119,"text":64},3,{"id":70,"depth":119,"text":71},{"id":77,"depth":119,"text":78},{"id":87,"depth":113,"text":87},{"id":107,"depth":113,"text":107},null,"斜辺1で頂角αの直角三角形の2辺を、それぞれ角βで直角三角形に切り分ける。できた図形の横幅が sin(α+β)、右の辺から左の辺を引いた高さが cos(α+β) になり、加法定理の2本が同時に読める。手描きの図を描き直し、図の作り方と読み方を順に書いた。","md",{},true,"/trig-addition-formula-folding-proof",false,"2026-09-11T00:00:00.000Z",{"title":5,"description":125},"2026-09/2026-09-11/trig-addition-formula-folding-proof",[135,136,20,137],"数学","三角関数","図解","O9B_mvKTEP-bYh1GVPM48Vx2L323Ve0qR_YpgcEO0E8",[],[141,145,148,152,155],{"title":142,"path":143,"publishedAt":144},"会計士と税理士の仕事を「閉じる世界」と「閉じない世界」に仕分けする","/accountant-closed-open-world-map","2026-09-10T00:00:00.000Z",{"title":146,"path":147,"publishedAt":144},"現金10億円のPE投資家が不動産営業を止めた「なぜ？」を、貸借対照表と損益計算書で読み解く","/pe-vs-real-estate-leverage",{"title":149,"path":150,"publishedAt":151},"2026年9月1日の開発日記 - 図解と帳票を並べ直し、検索順位の測り方を変えた","/2026-09-01-diary","2026-09-01T00:00:00.000Z",{"title":153,"path":154,"publishedAt":151},"別表四・五講座の図解を SVG 生成器で作り直す：図解49枚と帳票175枚をギャラリーに並べるまで","/beppyo-figures-svg-pipeline",{"title":156,"path":157,"publishedAt":158},"別表四・五の講座図をbefore/after方式で作り直す（JSON正本からSVGを生成する仕組みへ）","/beppyo-figure-before-after-rebuild","2026-08-31T00:00:00.000Z","https://log.eurekapu.com/og/blog/trig-addition-formula-folding-proof.png?v=2026-09-11T00%3A00%3A00.000Z&title=%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%82%921%E6%9E%9A%E3%81%AE%E7%B4%99%E3%81%A7%E5%B0%8E%E3%81%8F%E3%80%82%E6%96%9C%E8%BE%BA1%E3%81%AE%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E3%82%92%E6%8A%98%E3%82%8B%E3%81%A8%20sin(%CE%B1%2B%CE%B2)%20%E3%81%A8%20cos(%CE%B1%2B%CE%B2)%20%E3%81%8C%E5%90%8C%E6%99%82%E3%81%AB%E8%AA%AD%E3%82%81%E3%82%8B&author=Kei%20Komatsu&sig=9ef750c85ba578d6",1789078136049]