外角を頂点から切り取って1点に集めると、ぐるっと一周して ちょうど360° になります。これが「外角の和＝360°」のシンプルな証明です。
外角とは、多角形の1つの辺を延長したときにできる角のこと。多角形の各頂点で外角を1つずつ作ると、合計 n個 の外角ができます。
多角形の辺に沿って1周歩くことを想像してください。頂点に来るたびに、外角の分だけ体の向きを変えますよね。スタート地点に戻ったとき、あなたは ちょうど1周＝360° 回転しているはずです。その回転の合計が、外角の和そのものなのです。
各頂点で「内角 + 外角 = 180°」が成り立つので、n個の頂点すべてで足すと：
n角形の内角の和は 180°×(n−2) なので、両辺を整理すると：
※ この教材では凸多角形を扱っています。頂点の数 n によらず、答えはいつも360°です。