バイトとメモリ

2. 8進法の壁と16進法の誕生

バイトはコンピュータの内部に頻繁に登場するので、その値を簡潔に書き表す方法が欲しくなる。8桁の0と1の並びは正確だが、人間が読み書きするには煩わしい。10進数に直せば短くなるが、変換に紙と鉛筆が要る。第3講で学んだ8進法なら2進数との変換が一瞬で済む——ところが8ビットは3で割り切れないという、地味だが決定的な壁にぶつかる。桁ごとのビット数がそろわないと、複数バイトをまとめた表記が、個々のバイトの表記の単純な連結にならないのである。バイトを均等なビット数のグループに分けられる基数を選べばこの壁は消える。そこで登場するのが16進法であり、その名前のややこしさと、足りない6個の数字をどう補うかを扱う。

バイトはコンピュータの内部に絶えず登場する。だから、その値をできるだけ簡潔に書き表す方法があると ありがたい。8桁の0と1の並びは、たしかに一切の曖昧さがない代わりに、目で追うのに骨が折れる。 正確さは足りているが、簡潔さが足りていない。

もちろん10進数に直せば短くなる。第3講で見たとおり、各桁に2の累乗を掛けて足せば10進数が求まるし、 逆向きに割り算を繰り返せば2進数に戻せる。ただしこの変換は、紙と鉛筆とそれなりの練習を要求してくる。 機械のなかの値を人間が眺めるたびに筆算するのでは、簡潔さを買うために手間を払っていることになる。

第3講ではもう1つ、8進法も学んでいた。8進法の数字1桁は2進数のちょうど3ビットに 対応するので、変換は暗算どころか見ただけで済む。右端から3桁ずつ区切って読み替えるだけである。 実際、8進法はバイトを表す方法としてそれなりに良い。ただし小さな、しかし致命的な問題がある。

8は3で割り切れない。8ビットを右端から3桁ずつ区切っていくと、一番左の桁だけが 2ビット分しか受け持たない。この歪みは1バイトを単独で書いているうちは目立たないが、複数バイトを 並べた値を8進数にした瞬間に表面化する。16ビットの値をまとめて8進数に直した結果と、それを構成する 2つのバイトをそれぞれ8進数にして並べた結果が、一致しないのである。表記がバイト単位で積み上がら ないのは、実用上かなり困る。

直し方ははっきりしている。1バイトを均等なビット数のグループに分けられる基数を選べばよい。 8ビットを2ビットずつ4個に分けるなら4進法、4ビットずつ2個に分けるなら16進法である。そして選ばれたのが 16進法（hexadecimal）だった。

この名前がまたややこしい。hexagon（六角形）やhexapod（六脚）と同じく、hexaで始まる語はたいてい 6つの何かを意味している。それなのにhexadecimalは16を指す。さらに16進法は、これまでのどの基数とも 違う面倒を抱えている——10進法より数字が足りないのである。0から9の10個では、 1桁で16通りを書き分けられない。あと6個の記号が要る。実際の慣習では、アルファベットの最初の6文字 A・B・C・D・E・Fがその6個として使われている。

このセクション: 0 / 4 問正解

3. 16進法の読み書きと相互変換

4ビット（1ニブル）がちょうど16進数の1桁に対応する——この対応関係ひとつが、この節のすべての変換の土台になる。1バイトは常に16進数2桁で書ける。2進数から16進数へは4ビットずつ区切って読み替えるだけ、16進数から10進数へは各桁に16の累乗を掛けて足すだけ、10進数から16進数へは16で割って商と余りを求めるだけである。表記法は書籍にならい、数の後ろに小文字の「h」を付ける方式を使う。ここで身につけた読み書きは、この先アドレスや文字コードを扱うすべての講でそのまま使うことになる。

16進法の1桁は、ちょうど4ビット——つまり1ニブルに等しい。ここから 1バイトは常に16進数2桁で表せるという結論がただちに出てくる。8桁が2桁になる。 しかも複数バイトを並べても崩れない。前節で8進法が抱えていた歪みが、きれいに消える。

2進数から16進数への変換は、右端から4桁ずつ区切って、各グループを0からFに読み替えるだけである。 逆に16進数から2進数へ戻すときも、各桁を4ビットに展開して並べればよい。この対応表を覚えてしまえば、 変換に筆算は要らない。

16進数と10進数のあいだの変換には、位取り記数法の一般原理（第3講）がそのまま効く。16進数の各桁は 16の累乗——右から1・16・256・4096・65536——に対応するので、各桁の値に対応する累乗を掛けて足せば 10進数になる。

2Fh ＝ 2×16 ＋ 15×1 ＝ 32 ＋ 15 ＝ 47

逆に10進数から16進数へ変換するときは、割り算で桁を1つずつ削り出す。255以下の数なら16進数2桁に 収まるので、16で割った商が上位の桁、余りが下位の桁になる。もっと大きな数なら、先に256で割って 2バイトに分けてから、それぞれを16で割ればよい。

200 ÷ 16 ＝ 商 12（＝C）… 余り 8  →  C8h

表記法についても決めておく。何進数かを区別する下付き文字は他の基数と同様に使えるが、16進数の場合は 書くのが長い。この教材では書籍にならい、最もよく使われている方式——数の後ろに小文字の「h」を 付ける——を採用する。C8h、5Dh、FFhといった具合である。第7講の2の補数と組み合わせると、 8ビット符号付きの数は先頭の16進数字が8・9・A・B・C・D・E・Fのいずれかなら負だと一目でわかる。 これらの数字の2進数表現は、いずれも1で始まるからである。

このセクション: 0 / 5 問正解

4. フリップフロップからラッチへ

前講で完成したレベルトリガー型のDフリップフロップは、クロックが1のあいだ出力がデータ入力に追従し、クロックが0に落ちた瞬間の値を保持し続ける回路だった。これはすでに「1ビットの記憶」そのものである。本講ではこの回路を記憶専用の部品として使うので、入出力の名前を目的に合わせて付け替える——クロックはライト、Dはデータイン、Qはデータアウトになる。回路はまったく同じなのに、呼び名が変わるだけで見え方が変わる。ライト信号を1にしてまた0に戻すという操作が「書き込む」という意味を持ち、この種の回路をラッチと呼ぶ。同じラッチを8個並べてライト信号を1本にまとめれば、8ビット値をまるごと覚える8ビットラッチになる。

ここからが本題である。記憶とは、書き留めることと後で読むこと、この2つの出来事のあいだ、情報を そのまま保持し続けることだと言い直せる。紙は文書に、磁気テープは音や映像に向いた媒体だが、 電信のリレーで組んだ論理ゲートを組み合わせても情報は保存できる。前講のフリップフロップが1ビットを 保存できることは、すでに確かめたとおりである。

前講で作ったレベルトリガー型のDフリップフロップは、インバータ1個・ANDゲート2個・ NORゲート2個からできていた。動作はこうである——クロック入力が1のあいだ、出力はデータ入力に追従する。 クロック入力が0になると、出力はその時点のデータ入力の値を保持し続け、以降データ入力をいくら動かしても クロックが1に戻るまで出力は変わらない。

本講ではこの回路を、ほかの用途ではなく1ビットの情報を保存するためだけに使う。 そこで、入出力の呼び名を目的に合わせて付け替える。回路そのものはまったく同じで、名札だけを貼り替える。

クロック → ライト（W）
データ入力 D → データイン（DI）
出力 Q → データアウト（DO）

名前が変われば操作の意味も変わる。通常、ライト入力は0にしておき、このときデータイン信号は出力に 何の影響も与えない。値を保存したいときだけ、データイン信号を目的の値にしたうえで ライト入力を1にしてから、また0に戻す。紙にペンを下ろし、書き終えてペンを離すのと 同じ手つきである。データに錠を掛けるように値を閉じ込めるので、この種の回路は ラッチとも呼ばれる。

1ビットの保存法がわかれば、2ビット、3ビット、それ以上も難しくない。8個の1ビットラッチを並べ、 8本のライト入力を1本の信号にまとめて共通接続すれば、8ビットラッチができる。データ 入力8本・データ出力8本・ライト入力1本を持ち、1回のライト操作で8ビット値をまるごと書き換えられる。 次のセクションでは、これとは別の組み立て方——8個のラッチに、1本のデータインと 1本のデータアウトだけで個別に読み書きする方法——を考える。

このセクション: 0 / 4 問正解

5. セレクタとデコーダでRAMを作る

8個のラッチに、たった1本のデータインと1本のデータアウトだけで個別に読み書きしたい——そう望んだ瞬間に、「8個のうちどれか1つを指し示す」仕組みが必要になる。8通りを表すのに要るスイッチは3個。読み出し側では、この3ビットで8個のデータアウトから1つを選ぶ8線-1線データセレクタが働く。書き込み側では、その逆向きに動く3線-8線デコーダが、ライト信号を8本のうち1本だけに振り分ける。第6講で「後の講でメモリのアドレス指定に使われる」と予告された2線-4線デコーダが、ここで出力を8本に増やして本当に主役として戻ってくる。セレクタとデコーダに共通で入る3本の信号がアドレスであり、この構成全体がランダムアクセスメモリ（RAM）である。

8ビットラッチが保存するのは、8ビットの値が1つだけだった。今度は同じ8個のラッチを使って、 8個の別々の1ビット値を保存したい。しかも入口はデータイン1本、出口はデータアウト 1本に絞る。8個のラッチのどれに書き込むか、どれを読み出すかは、そのつど指定できるようにしたい。

まず読み出し側から片づける。8個のうちどれを見るかを指定するには、いくつスイッチが要るだろうか。 3個である。3個のスイッチなら 000・001・010・011・100・101・110・111 の8通りを 表現でき、8個のラッチを1つずつ過不足なく指し示せる。第4講で学んだ「n個のスイッチで2のn乗通り」 という数え方が、そのままここで使われている。

この3ビットを受け取って、8本のデータアウトから1本を選んで出力する部品が 8線-1線データセレクタである。前講で加算器を改良したときに使った2線-1線セレクタ （2個から1個を選ぶ）の、選択肢を8個に増やした拡張版にすぎない。セレクト入力が000なら出力はD0と 同じ、010ならD2と同じ、111ならD7と同じになる。中身は3個のインバータ・8個の4入力ANDゲート・ 1個の8入力ORゲートである。

残るは書き込み側である。ここで手順を間違えやすいので、順番に確認する。8個のラッチの データイン端子は、8個すべてを1本の信号に共通接続してよい。同じ値がすべての ラッチの入口に届いていても、書き込みが起きなければ何も起こらないからである。一方、 8本のライト入力を1本にまとめてはならない。それをやると8個すべてが同時に書き換わって しまい、個別に保存するという目的が果たせない。ライト信号は1本のまま、8個のうち ちょうど1個のラッチにだけ届けなければならない。

これを実現するのが、セレクタとちょうど逆向きに働く3線-8線デコーダである。 出力は8本あり、どんなときも1本を除いてすべて0。その例外の1本は、3ビットのアドレス入力によって 選ばれた出力で、そこにだけデータイン入力（この構成ではライト信号）が現れる。つまりデコーダは データの値を運んでいるのではなく、書き込みの許可を配っている。選ばれたラッチの ライト端子だけが有効になり、共通配線されたデータイン信号がそのラッチに書き込まれる。

第6講「論理ゲートを作る」の終わりで、ANDゲート4個と インバータ2個で作った2線-4線デコーダを見た。あのとき「後の講でメモリのアドレス 指定（たくさんの記憶場所から1つを選ぶ）に使われる重要部品」と書いた回路が、出力を8本に増やして いま本当に戻ってきたことになる。

ここで注目すべきは、デコーダとセレクタに入る3本のセレクト信号が同一の信号である ことだ。この3本にはアドレスという名前が付いている。私書箱の番号のように、この 3ビットのアドレスが8個のラッチのうちどれを参照しているかを決めている。入力側では「ライト信号が どのラッチを書き換えるか」を、出力側では「どのラッチの値を読み出すか」を、同じアドレスが同時に 決めているのである。この構成がランダムアクセスメモリ（RAM）——アドレスを変える だけで8個のラッチのどれでも好きな順序で読み書きできることから、この名が付いた。読むのに手前から 順にたどらなければならない逐次的なメモリとの対比である。この特定の構成は 8×1のRAMアレイと呼ばれる（8個の値、各1ビット）。

上の構成図を、そのまま手で動かせるようにしたのが次のシミュレータである。3個のアドレススイッチを 切り替えるとデコーダとセレクタの経路が動き、8個のラッチから選ばれる1個が移る。データインを定めて ライトを押せば選ばれたラッチだけが書き換わり、データアウトには選ばれたラッチの値がそのまま現れる。

このセクション: 0 / 5 問正解

6. RAMアレイの規模と揮発性

アドレス入力を1本増やすたびに、指し示せる場所の数は2倍になる。値の個数はアドレス入力の本数を指数とする2の累乗——この単純な関係だけで、RAMアレイをどこまでも大きくしていける。1024個の8ビット値を蓄えるアレイならアドレス入力は10本で、1024バイトすなわち当時の言い方で1キロバイトになる。なぜ1000ではなく1024なのかという混乱の種にもここで決着をつける。そして最後に、これまで組み立ててきたリレーのメモリが抱える宿命を確認する。リレーは電磁石に電流を流し続けることで接点を押さえているのだから、電源を切れば磁力は消え、蓄えた内容は残らず失われる。これが揮発性と呼ばれる性質である。

RAMアレイは自由に組み合わせられる。2つの8×1アレイのアドレス入力とライト入力を共通につなげば、 8個の値をそれぞれ2ビットで保存する8×2のRAMアレイになる。あるいは同じ2つを、2線-1線セレクタと 1線-2線デコーダで「どちらのアレイを使うか」選べるようにつなげば、そのセレクト信号が実質的に 4本目のアドレスになり、全体は16個の1ビット値を保存する16×1のRAMアレイと同じものになる。

ここに規則が現れる。アドレス入力がなければ保存できる値は1個（1ビットラッチ・8ビットラッチが これにあたる）。1本なら2個、2本なら4個、3本なら8個、4本なら16個——アドレス入力を1本増やすたびに 容量が倍になる。

RAMアレイの値の個数 ＝ 2 の（アドレス入力の本数）乗

この式さえあれば、いくらでも大きなアレイを想像できる。たとえば1024個の8ビット値を保存するアレイを 考えよう。1024は2の10乗なのでアドレス入力は10本、データ入力8本、データ出力8本である。1024個の 私書箱を備えた郵便局のようなもので、それぞれの箱に1バイトずつ違う値が入っている。 1024バイト、すなわち1キロバイトである。

——ここで混乱の種がひとつ埋まっている。メートル法の「キロ」は1000を意味する。1キログラムは1000グラム、 1キロメートルは1000メートルである。それなのに1キロバイトは1024バイトだという。理由は単純で、しかも 少し間の抜けたものだ。メートル法は10の累乗に、2進数は2の累乗に基づいており、10の整数乗と2の整数乗が 一致することはない。ただしときどき近づく。2の10乗（1024）は、10の3乗（1000）に かなり近い。この小さな偶然のおかげで、当時の人々は1024バイトのことを1キロバイトと呼ぶことができた。

同じ理屈で1024キロバイトは1メガバイト（2の20乗、およそ100万）、1024メガバイトは1ギガバイト （2の30乗、およそ10億）、その次はテラバイト（2の40乗、およそ1兆）と倍増が続く。なお、キロビット・ メガビットはバイトではなくビットの単位で、こちらは通信速度を語るときにほぼ限って使われる。 56Kモデムは毎秒56キロビットの意味であって、キロバイトではない。

なおこの「1キロバイト＝1024バイト」は、書籍が書かれた1999年当時のコンピュータ用語の慣習である。 現在はSIの「キロ」は1000を指し、2進の1024にはIEC二進接頭辞の「キビ（Ki）」を使って KiB（キビバイト）と表記して区別するのが標準になっている。この教材では、当時の 慣習として1024を扱う。

では実際に大きなものを作ってみよう。65,536バイト、つまり64KBのメモリである。65,536は2の16乗なので アドレスはちょうど16ビット＝2バイト、16進数で書けば 0000h から FFFFh までになる。前節で身につけた 16進表記が、さっそくアドレスを語る言葉として働いている。ちなみにこれをリレーで本当に作ろうとすると、 この設計では1ビットの記憶に9個のリレーが要るので、64K×8のアレイ全体では500万個近いリレーが必要に なる。試さない方がよい。

そして最後に、メモリについてどうしても覚えておくべきことがひとつある。第6講で論理ゲートを導入した とき、個々のリレーを描くのをやめ、すべてのリレーが電源につながっていることを示すのもやめた。だが その事実は消えていない。リレーは起動されているあいだ、電磁石のコイルに電流が流れ続け、 金属接点を所定の位置に押さえ続けている。

64K×8のRAMアレイを65,536個の大事なバイトで満たしていても、電源が切れれば終わりである。リレーの 電磁石は磁力を失って接点が元の位置へ戻り、保持していた内容は取り戻せない。だからランダムアクセスメモリは 揮発性メモリとも呼ばれる。電力を 供給され続けていなければ内容を保てないのである。ここまでで、1ビットの記憶を数百万個並べれば メモリになることはわかった。しかしそもそも、なぜ人類は計算という作業を機械に任せたがるのか。 次講ではその歴史的な問いに立ち返る。

このセクション: 0 / 4 問正解