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(a+b)³ の展開公式を3Dで理解する
展開公式
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3この公式は、辺の長さが (a+b) の立方体を8つのブロックに分解することで幾何学的に理解できる。
インタラクティブツール
8つのブロック
| 項 | 形状 | 個数 | 説明 |
|---|---|---|---|
| a³ | a × a × a | 1 | 辺 a の立方体 |
| a²b | a × a × b | 3 | 2辺が a、1辺が b のスラブ |
| ab² | a × b × b | 3 | 1辺が a、2辺が b のバー |
| b³ | b × b × b | 1 | 辺 b の立方体 |
合計 1 + 3 + 3 + 1 = 8 個のブロックで (a+b)³ の立方体が構成される。 この係数 1, 3, 3, 1 はパスカルの三角形の4段目に対応している。
なぜ係数が 1, 3, 3, 1 なのか
(a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b) を展開すると、各項は3つの括弧からそれぞれ a か b を選ぶ組み合わせで決まる。
- a³: 3つとも a を選ぶ → C(3,0) = 1通り
- a²b: 2つで a、1つで b を選ぶ → C(3,1) = 3通り
- ab²: 1つで a、2つで b を選ぶ → C(3,2) = 3通り
- b³: 3つとも b を選ぶ → C(3,3) = 1通り
技術メモ
このビジュアライザーは CSS 3D transforms のみで構築しており、Three.js のような外部3Dライブラリは使用していない。
CSS の transform-style: preserve-3d と perspective を組み合わせ、各ブロックの6面を div 要素で描画している。